TG-WEBの「タイルと対角線」で数字が半端だと固まってしまう本当の理由
「TG-WEBの図形問題で、長方形に敷き詰めたタイルに対角線を1本引いて『対角線が通らないタイルの数』を聞かれると、8×12のようなキリのいい数ならまだしも、13×17のような中途半端な数字が出た瞬間に手が止まる」——そう感じているなら、原因は計算力ではなく、タイルの数字がどんな組み合わせでも通用する「公式」を知らないことにあります。
13枚×17枚とか、素直に割り切れなさそうな数字が出てくると、対角線が何マス通るのかもう見当がつかない…
実は縦・横の枚数がどんな数字でも、「全体のタイル数－（縦＋横－最大公約数）」という公式1つだけで、線を1本も数えずに答えが出せますよ！
縦H枚×横W枚のタイルを敷き詰めた長方形に対角線を1本引くとき、対角線が通るタイルの数はちょうど「W＋H－最大公約数(W, H)」個になります。あとは全体のタイル数からこの数を引くだけで、対角線が通らないタイルの数が求まります。
公式を覚える前に、今の「タイルと対角線」の実力を測ってみませんか？
これから紹介する公式を身につける前に、まずは中途半端な数字が出たときに今どれくらい解けるか診断してみましょう。
無料のTG-WEB図形模試で今の実力を診断【例題】13枚×17枚という中途半端な数でも公式なら瞬殺できる
次のような、実際にTG-WEBで出題される形式の問題を考えてみましょう。
下の図のように、縦13枚×横17枚のタイルを並べた長方形に対角線を1本引いた。対角線が通らない（線が引かれない）タイルはいくつあるか。
13と17はどちらも素数に近く、パッと見て割り切れる関係が見えないため「中途半端な数」の典型です。この形が出たら、次の3ステップで処理します。
ステップ1：全体のタイル数を求める
まず、長方形全体に敷き詰められたタイルの総数を求めます。単純にかけ算するだけです。
ステップ2：縦と横の最大公約数（GCD）を求める
次に、縦の枚数（13）と横の枚数（17）の最大公約数を求めます。13と17はどちらも素数で共通の約数を持たないため、最大公約数は1です。
ステップ3：公式に当てはめて「対角線が通らないタイル数」を出す
「対角線が通るタイル数＝W＋H－GCD(W, H)」の公式に当てはめると、対角線が通るのは29マスだとわかります。全体からこの数を引けば、対角線が通らないタイル数が求まります。
よって、対角線が通らないタイルは 192個 です。13×17という一見規則性のなさそうな数字でも、実際に図を描いて1マスずつ数える必要は一切ありません。
ポイント
縦H枚×横W枚のタイルに対角線を1本引いたとき、対角線が通らないタイル数は「H×W－（W＋H－GCD(W, H)）」の1本の式だけで求まります。縦横の数がどんなに中途半端でも、この公式さえ覚えておけば同じ手順で解けます。
なぜこの公式になるの？
「W＋H－GCD(W, H)」という公式が唐突に見えるかもしれませんが、仕組みはシンプルです。対角線は、縦の格子線を横切るたびに1マス、横の格子線を横切るたびにも1マスへ移動します。ただし縦横の格子線にちょうど同時に重なる点（角を通る点）では、2本分カウントされそうなところを1回分しか進まないため、その重複した回数だけ引く必要があります。この「同時に重なる回数」が、ちょうど縦と横の最大公約数と一致します。
縦2マス×横3マスの小さな長方形で確認してみましょう。
この例ではW＝3、H＝2で最大公約数は1（3と2に共通の約数がないため）なので、公式では「3＋2－1＝4マス」が対角線の通り道になります。図でハイライトされている4マス（左上→右上隣→下段中央→右下）を数えると、確かに4マスと一致していることが確認できます。マスが小さいうちは実際に図で数えても答えが出ますが、13×17のように大きく中途半端な数になると、この規則を知っているかどうかで解答スピードに大きな差がつきます。
もう1問：8枚×12枚のようにキリのいい数字でも同じ公式が使える
公式の強みは、数字がキリよくても半端でも全く同じ手順で解ける点です。縦8枚×横12枚のケースも見てみましょう。
下の図のように、縦8枚×横12枚のタイルを並べた長方形に対角線を1本引いた。対角線が通らない（線が引かれない）タイルはいくつあるか。
先ほどと同じ3ステップで処理します。8と12はどちらも4で割り切れるため、最大公約数は4になります。
よって、対角線が通らないタイルは 80個 です。13×17のときと同じ公式・同じ手順で、最大公約数が1でも4でも関係なく解けることがわかります。
覚えておくべきポイント
「タイルと対角線」の問題が出たら、①全体のタイル数を求める、②縦と横の最大公約数を求める、③「全体－（縦＋横－最大公約数）」を計算する、の3ステップを機械的に繰り返すだけです。最大公約数が1になる中途半端な数字ほど、公式を知らない人との差がつきやすい単元です。
「本番で半端な数字が出て時間切れになった」経験はありませんか？
TG-WEBの「タイルと対角線」は、練習問題では8×12のようなキリのいい数字に慣れていても、本番で13×17や9×16のような素数寄りの数字が出た瞬間に「あれ、最大公約数ってどう求めるんだっけ」と手が止まってしまうことがあります。公式を丸暗記するだけでなく、どんな数字の組み合わせでも同じ手順を再現できるようにしておくことが、本番での失点を防ぎます。
公式は理解できたけど、本番で焦ってGCDの計算を間違えないか不安…
その不安を解消するには、実際にいろいろな縦横の組み合わせで繰り返し練習しておくのが一番です。Webテストナビは、間違えた問題や自信のなかった問題を忘れかけた頃に自動で再出題する仕組みで、本番でも公式をパッと引き出せる状態を作ります。
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この公式は覚えるだけでなく、実際に何度か手を動かして慣れておくと本番で迷いなく使えるようになります。スマホで手軽に実践練習ができるツールを使って、スキマ時間にWebテストナビで復習しておくのがおすすめです。
よくある質問
Q. タイルと対角線の問題は、どんな公式で解けますか？
縦H枚×横W枚のタイルを敷き詰めた長方形に対角線を1本引いたとき、対角線が通るタイルの数は「W＋H－最大公約数(W, H)」個になります。全体のタイル数からこの数を引けば、対角線が通らないタイル数が求まります。
Q. なぜ最大公約数を引く必要があるのですか？
対角線は縦横の格子線に同時に重なる点（角を通る点）で、2本分カウントされそうなところを1回分しか進みません。この「同時に重なる回数」がちょうど縦と横の最大公約数と一致するため、二重にカウントした分を引く必要があります。
Q. 13と17のような素数どうしの組み合わせでも公式は使えますか？
はい、使えます。13と17のように共通の約数を持たない数の最大公約数は1になるだけで、公式自体はどんな縦横の枚数でも同じ形のまま使えます。