この記事を読むと、TG-WEBの図形問題「直角二等辺三角形を組み合わせて作れない図形を選ぶ」問題を、実際に図形を頭の中で組み立てなくても解けるようになります。多くの受験者がこの問題で時間をかけてしまうのは、選択肢の図形を1つずつ頭の中で組み立てようとしてしまい、「角度」という1つの視点だけで判定できることに気づいていないためです。
なぜこの問題は「組み立てずに」解けるのか
三角形を何枚か組み合わせてできる図形、選択肢を1つずつ頭の中で組み立てて確認してたら時間が全然足りない…
実は、組み立てる必要はないんです。直角二等辺三角形の角度（45°・45°・90°）だけに注目すれば、一瞬で「あり得ない図形」が分かりますよ！
直角二等辺三角形の内角は45°・45°・90°のいずれかです。この三角形を何枚組み合わせても、できあがる図形のどの頂点の角も、45°と90°の角をいくつか足し合わせた大きさになるため、必ず45°の倍数になります。選択肢の中に45°の倍数ではない内角を持つ図形があれば、それが「あり得ない図形」です。
記事を読む前に、今の「図形の組み合わせ」の実力を測ってみませんか？
これから紹介する「45°の倍数」のコツを身につける前に、まずは現状の解答スピードを診断してみましょう。
無料のTG-WEB図形模試で今の実力を診断【例題】三角形3枚で作れない図形を見抜く
次のような問題を考えてみましょう。
図のような合同な直角二等辺三角形が3個ある。これらをすべて使ってある図形を作ったとき、あり得ない図形は次のうちどれか。
まず、直角二等辺三角形1枚の内角を確認しておきましょう。図の通り、45°・45°・90°の3つです。
三角形を2枚、直角をはさむ辺（斜辺ではない方の辺）どうしで合わせると、上のように大きな二等辺三角形ができます。このとき新しくできる頂点の角も、90°（45°＋45°）のように、必ず45°の倍数になっていることが分かります。
選択肢は「台形・平行四辺形・正五角形・凧形・二等辺三角形」の5つです。次の2ステップで判定します。
- 各選択肢の内角を確認します。正五角形の内角は108°です。
- 108°が45°の倍数かどうかを確認します。 となり、割り切れません。
よって、45°と90°の組み合わせでは正五角形の内角（108°）を作ることができないため、正五角形が正解（あり得ない図形）です。
ポイント
直角二等辺三角形をいくつ組み合わせても、できあがる図形の内角は必ず45°の倍数になります。選択肢の内角を1つずつ確認し、45°の倍数でない角を持つ図形を探すだけで、実際に組み立てなくても答えが出せます。
三角形の枚数が変わっても、同じルールが使える
このルールの強みは、三角形の枚数が増えても全く同じ考え方が使える点です。3つの応用問題で確認してみましょう。なお、「図のような直角二等辺三角形」というのは、いずれも最初の例題と同じ45°・45°・90°の1枚（下の図）のことで、問題ごとに変わるのは枚数だけです。
図のような合同な直角二等辺三角形が4個ある。これらをすべて使ってある図形を作ったとき、あり得ない図形は次のうちどれか。
①長方形 ②ひし形（内角60°・120°のもの） ③台形 ④平行四辺形 ⑤凧形
選択肢の内角を確認すると、②の「内角60°・120°のひし形」だけが45°の倍数になっていません（）。長方形（90°）・台形・平行四辺形・凧形は、いずれも45°・90°・135°の組み合わせで作れるため、あり得ない図形は②のひし形です。
図のような合同な直角二等辺三角形が5個ある。これらをすべて使ってある図形を作ったとき、あり得ない図形は次のうちどれか。
①正六角形 ②台形 ③長方形 ④平行四辺形 ⑤凧形
選択肢のうち、正六角形の内角は120°で、45°の倍数ではありません（）。台形・長方形・平行四辺形・凧形はすべて45°の倍数の角だけで作れるため、あり得ない図形は①の正六角形です。
図のような合同な直角二等辺三角形が6個ある。これらをすべて使ってある図形を作ったとき、あり得ない図形は次のうちどれか。
①正三角形 ②長方形 ③平行四辺形 ④台形 ⑤六角形（内角がすべて90°または135°のもの）
選択肢のうち、正三角形の内角は60°で、やはり45°の倍数ではありません（）。長方形・平行四辺形・台形・六角形（90°・135°のみ）はすべて45°の倍数の角だけで作れるため、あり得ない図形は①の正三角形です。
4つの問題をまとめて比較する
| 三角形の枚数 | あり得ない図形（正解） | その内角 | 45°の倍数か |
|---|---|---|---|
| 3枚 | 正五角形 | 108° | ×（） |
| 4枚 | ひし形（60°・120°） | 60°／120° | ×（） |
| 5枚 | 正六角形 | 120° | ×（） |
| 6枚 | 正三角形 | 60° | ×（） |
三角形の枚数（3〜6枚）が変わっても、判定方法は毎回同じであることが分かります。
覚えておくべきポイント
選択肢の中に「内角が45°の倍数ではない図形」が1つでもあれば、それが「あり得ない図形」です。60°・108°・120°のように、正三角形や正五角形・正六角形の内角は45°の倍数にならないことが多いため、まずこれらの図形が選択肢にないか確認するのが近道です。
なぜ「45°の倍数」になるのか
直角二等辺三角形をいくつ組み合わせても、できあがる図形の頂点には、元の三角形の角（45°または90°）がいくつか集まってできています。45°も90°もどちらも45°の倍数（45°＝45°×1、90°＝45°×2）なので、それらをいくつ足し合わせても、合計は必ず45°の倍数のままです。これが、組み合わせてできる図形の内角が必ず45°の倍数になる理由です。
45°の倍数というルールは分かったけど、本番で内角の暗算を間違えないか不安…
その不安を解消するには、正三角形（60°）・正五角形（108°）・正六角形（120°）のように、よく選択肢に出てくる図形の内角をあらかじめ覚えておくのが一番です。Webテストナビは、間違えた問題や自信のなかった問題を忘れかけた頃に自動で再出題する仕組みで、本番でも内角をパッと判断できる状態を作ります。
- 忘却曲線に基づく自動復習機能（間違えた問題を最適なタイミングで再出題）
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よくある質問（Q&A）
Q. なぜ直角二等辺三角形を組み合わせた図形の角は、必ず45°の倍数になるのですか？
A. 直角二等辺三角形の内角は45°・45°・90°の3種類しかありません。三角形を組み合わせてできる図形の頂点は、これらの角がいくつか集まってできています。45°も90°もどちらも45°の整数倍（45°＝45°×1、90°＝45°×2）であるため、それらをどれだけ足し合わせても、合計は必ず45°の倍数のままになります。
Q. 選択肢の内角が45°の倍数でありさえすれば、必ず作れるのですか？
A. 45°の倍数であることは「作れるための必要条件」であって、それだけで「必ず作れる」ことまでは保証しません。ただしTG-WEBのこのタイプの問題では、45°の倍数でない選択肢が1つだけ紛れ込んでいる形式がほとんどのため、実務上は「45°の倍数でない図形を探す」だけで正解にたどり着けます。残りの選択肢（台形・平行四辺形・凧形など）は、実際に三角形を並べることで作れることが確認されています。
参考書を買う前に、まずは今の実力を確認してみてください。