立方体の切断面問題で頭の中がこんがらがる本当の理由
「TG-WEBの図形問題で、立方体を3点P・Q・Rを通る平面で切ったときの切り口の形を答える問題が出ると、頭の中で立体を組み立てて切ろうとして訳が分からなくなる」——そう感じているなら、原因は空間認識力ではなく、切り口の形は「頂点の数」を数えるだけで決まるという規則を知らないことにあります。
3点P・Q・Rを通る平面って言われても、実際にどう切れるのか全然イメージできない…
実は、切り口が三角形になるか四角形になるか六角形になるかは、その平面が立方体の辺を何本横切るかを数えるだけで分かるんです！
立方体を1つの平面で切ったとき、切り口の図形の頂点（角）の数は、その平面が立方体の辺と交わる点の数と必ず一致します。交わる点が3個なら三角形、4個なら四角形、5個なら五角形、6個なら六角形になります。立体を頭の中で組み立てる必要はありません。
記事を読む前に、今の「立方体の切断面」の実力を測ってみませんか？
これから紹介する「頂点の数を数えるだけ」のコツを身につける前に、まずは現状の解答スピードを診断してみましょう。
無料のTG-WEB図形模試で今の実力を診断【例題】頂点3個の切り口は三角形になる
次のような問題を考えてみましょう。
下の図のような立方体を、3点P・Q・Rを通る平面で切断する。点P・Q・Rはいずれも、1つの頂点に集まる3本の辺の中点である。切り口の図形として正しいものはどれか。
選択肢には三角形・四角形・五角形・六角形が並んでいますが、実際に立体を切る様子を想像する必要はありません。次の3ステップだけで答えが出せます。
ステップ1：与えられた3点P・Q・Rの位置を確認する
P・Q・Rは、立方体の1つの頂点（角）に集まる3本の辺の、それぞれの中点です。この3点を通る平面で立方体を切ります。
ステップ2：平面が立方体の辺と交わる点をすべて数える
この平面はP・Q・Rの3点で立方体の辺と交わっており、それ以外の辺とは交わりません。つまり、平面が辺と交わる点はちょうど3個です。
ステップ3：交わる点の数を、そのまま切り口の頂点の数とみなす
「平面が辺と交わる点の数＝切り口の頂点の数」なので、頂点が3個の図形、つまり三角形が切り口になります。
実際に切り口（オレンジ色の部分）を描いてみると、P・Q・Rの3点を結んだ三角形になっていることが確認できます。図を最後まで完成させなくても、「3点で交わる→頂点3個→三角形」という数え方だけで答えが出せます。
ポイント
立方体を1つの平面で切ったとき、切り口の頂点の数は、その平面が立方体の辺と交わる点の数と一致します。P・Q・Rが何本の辺の上にあるかを数えるだけで、切り口の図形（三角形〜六角形）が分かります。
なぜ「頂点の数」と「辺と交わる点の数」が同じになるの？
この規則が成り立つ理由はシンプルです。平面が立方体の1つの面を横切るとき、その面には必ず1本の線（切り口の辺）が引かれます。そしてその線は、面の境界である辺の上の2点（隣り合う面との交点）を結んでいます。つまり、平面が辺を1回横切るたびに、切り口の頂点が1つ生まれるのです。
この規則には、もう1つ重要な帰結があります。立方体の面は6つしかないため、1つの平面が横切れる面の数は最大でも6つです。つまり、切り口として現れる図形は、どんなに複雑な切り方をしても七角形以上にはなりません。次の例で、実際に6つの面すべてを横切る「最大パターン」を見てみましょう。
【応用】辺の中点をうまく選ぶと六角形になる
先ほどとは違う位置に3点P・Q・Rをとった、次のような問題を考えてみましょう。
下の図のような立方体を、3点P・Q・Rを通る平面で切断する。点P・Q・Rはいずれも、辺の中点である。切り口の図形として正しいものはどれか。
先ほどと同じステップ2（平面が辺と交わる点を数える）を行うと、この平面は立方体の12本の辺のうち6本の辺の中点を通っており、辺と交わる点はちょうど6個です。
よって、頂点が6個の図形、つまり六角形が切り口になります。実際に図を見ると、立方体の6つの面すべてにオレンジ色の切り口の辺が1本ずつ引かれていることが分かります。「6つの面すべてを横切る＝六角形」は、切断面問題で現れる最大のパターンとして覚えておくと安心です。
覚えておくべきポイント
切り口の図形は、平面が立方体の辺と交わる点の数だけで決まります（3個→三角形、4個→四角形、5個→五角形、6個→六角形）。面は6つしかないため、六角形より辺の数が多い図形は絶対に現れません。
四角形・五角形のパターンも同じ数え方で解ける
三角形・六角形以外のパターンも、同じ数え方で解けることを確認しておきましょう。
上の図は、平面が辺と交わる点が4個のケースです。向かい合う2辺（面を共有しない位置にある辺）を含む平面で切ると、このように四角形（実際には長方形）の切り口になります。
こちらは、平面が辺と交わる点が5個のケースです。3点P・Q・Rの位置によっては、このように五角形の切り口が現れることもあります。三角形・四角形・六角形に比べると出題頻度はやや低いパターンですが、考え方は全く同じです。
「本番でP・Q・Rの位置が変わると分からなくなる」経験はありませんか？
TG-WEBの立方体の切断面は、練習問題で三角形のパターンに慣れていても、本番でP・Q・Rの位置が変わって五角形や六角形になる問題が出ると、また一から頭の中で組み立てようとして時間を溶かしてしまうことがあります。特定の形を丸暗記するのではなく、「辺と交わる点を数える」という規則そのものを理解しておくことが、どんな点の位置が出題されても対応できる力になります。
数え方は分かったけど、本番でとっさに「何本の辺と交わっているか」を見極められるか不安…
その不安を解消するには、いろいろなP・Q・Rの位置のパターンに繰り返し触れておくのが一番です。Webテストナビは、間違えた問題や自信のなかった問題を忘れかけた頃に自動で再出題する仕組みで、本番でも「数えるだけ」の感覚をパッと引き出せる状態を作ります。
- 忘却曲線に基づく自動復習機能（間違えた問題を最適なタイミングで再出題）
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この規則は覚えるだけでなく、実際に何問か手を動かして慣れておくと本番で迷いなく使えるようになります。
よくある質問
Q. 立方体の切断面の形は、どうやって見分ければいいですか？
切り口の図形の頂点（角）の数は、切断する平面が立方体の辺と交わる点の数と必ず一致します。交わる点が3個なら三角形、4個なら四角形、5個なら五角形、6個なら六角形になり、頭の中で立体を組み立てる必要はありません。
Q. 立方体の切断面は、七角形以上になることもありますか？
なりません。立方体の面は6つしかなく、1つの平面が横切れる面の数は最大でも6つのため、切り口として現れる図形は最大でも六角形までです。
Q. なぜ「辺と交わる点の数」と「切り口の頂点の数」が一致するのですか？
平面が立方体の1つの面を横切るたびに、その面には必ず1本の切り口の辺が引かれ、その辺は面の境界である辺の上の2点を結びます。つまり平面が辺を1回横切るたびに切り口の頂点が1つ生まれるため、両者の数は必ず一致します。